HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRET

HIMPUNAN

Ø  PENGERTIAN

Himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala                                                                  koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsepan penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan merupakan teori himpunan, sangatlah berguna.

Ø  JENIS-JENIS HIMPUNAN

Himpunan bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

·         {apel, jeruk}

·         {jeruk, pisang}

·         {apel, mangga, pisang}

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat  dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah ${\displaystyle \mathcal{<span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">P\; (\; A\; )\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{P\}\}(A)\}\; </span>.}}$
Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka ${\displaystyle \mathcal{<span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">P\; (\; A\; )\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{P\}\}(A)\}\; </span>:}}$

 { { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},

{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang},{jeruk, mangga, pisang},{apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan ${\displaystyle \mathbb{}}$${\displaystyle \mathbb{}}$

$ Himpunan Berhingga $

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline">\; Jika\; sebuah\; himpunan\; memiliki\; kardinalitas\; yang\; kurang\; dari\; kardinalitas\; <span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">a\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{a\}\}\}\; </span>,\; maka\; himpunan\; tersebut\; adalah\; himpunan\; berhingga.<br>\; </span>}}$

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline"><b>Himpunan\; Tercacah</b></span>}}$

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline">\; Himpunan\; disebut\; tercacah\; jika\; himpunan\; tersebut\; adalah\; berhingga\; atau\; denumerabel.<br>\; </span>}}$

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline"><b>Himpunan\; Non-Denumerabel</b></span>}}$

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline">\; Himpunan\; yang\; tidak\; tercacah\; disebut\; himpunan\; non-denumerabel.\; Contoh\; dari\; himpunan\; ini\; adalah\; himpunan\; semua\; bilangan\; riil.\; Kardinalitas\; dari\; himpunan\; jenis\; ini\; disebut\; sebagai\; kardinalitas\; <span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">c\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{c\}\}\}\; </span>.\; Pembuktian\; bahwa\; bilangan\; riil\; tidak\; denumerabel\; dapat\; menggunakan\; pembuktian\; diagonal.<br>\; Himpunan\; bilangan\; riil\; dalam\; interval\; (0,1)\; juga\; memiliki\; kardinalitas\; <span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">c\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{c\}\}\}</span>,\; karena\; terdapat\; korespondensi\; satu-satu\; dari\; himpunan\; tersebut\; dengan\; himpunan\; seluruh\; bilangan\; riil.\; <span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">y\; =\; t\; a\; n\; (\; \pi \; x\; -\; 1\; 2\; \pi \; )\; \{\backslash displaystyle\; y=tan(\backslash pi\; x-\{\backslash frac\; \{1\}\{2\}\}\backslash pi\; )\}\; </span>.<br>\; </span>}}$

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline"><h4>\; <span\; class="nowrap"><span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">2\; n\; \{\backslash displaystyle\; 2n\backslash ,\}\; </span></span><span\; class="mw-headline">Irisan</span></h4>\; </span>}}$

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline">\; </span>}}$

Irisan antara himpunan A dan B.

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).
Contoh:

·         {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.

·         {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.

·         {Budi, Cici} ∩ {Dani, Cici} = {Cici}.

·         {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

• A ∩ B = B ∩ A.

·         A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

·         A ∩ B ⊆ A.

·         A ∩ A = A.

·         A ∩ ∅ = ∅.

·         A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.

${\displaystyle \mathbb{<span\; class="mwe-math-mathml-inline">\; </span>}}$

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan bukan A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.
Contoh:

·         {1, 2} \ {1, 2} = ∅.

·         {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

·         A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.

·         A ∪ A′ = U.

·         A ∩ A′ = ∅.

·         (A′)′ = A.

·         A \ A = ∅.

·         U′ = ∅ dan ∅′ = U.

·         A \ B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkanA Δ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) . {\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}
Contohnya, diferensi simetris antara:

• {7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.
• {Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.

Hukum himpunan

1. Hukum komutatif
• p ∩ q ≡ q ∩ p
• p ∪ q ≡ q ∪ p
2. Hukum asosiatif
• (p ∩ q) ∩ r ≡ p ∩ (q ∩ r)
• (p ∪ q) ∪ r ≡ p ∪ (q ∪ r)
3. Hukum distributif
• p ∩ (q ∪ r) ≡ (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
• p ∪ (q ∩ r) ≡ (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
4. Hukum identitas
• p ∩ S ≡ p
• p ∪ ∅ ≡ p
5. Hukum ikatan
• p ∩ ∅ ≡ ∅
• p ∪ S ≡ S
6. Hukum negasi
• p ∩ p' ≡ ∅
• p ∪ p' ≡ S
7. Hukum negasi ganda
• (p')' ≡ p
8. Hukum idempotent
• p ∩ p ≡ p
• p ∪ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
• (p ∩ q)' ≡ p' ∪ q'
• (p ∪ q)' ≡ p' ∩ q'
10. Hukum penyerapan
• p ∩ (p ∪ q) ≡ p
• p ∪ (p ∩ q) ≡ p
11. Negasi S dan ∅
• S' ≡ ∅
• ∅' ≡ S

.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">A\; =\; \{\; 2\; ,\; 4\; ,\; 6\; ,\; 8\; ,\; .\; .\; .\; \}\; \{\backslash displaystyle\; A=\backslash \{2,\backslash ,4,\backslash ,6,\backslash ,8,\backslash ,...\backslash \}\}\; </span>}}$

${\displaystyle <span\; style="display:\; none;\; mso-hide:\; all;">|\; P\; (\; A\; )\; |\; =\; 2\; |\; A\; |\; \{\backslash displaystyle\; |\{\backslash mathcal\; \{P\}\}(A)|=2^\{|A|\}\}\; </span>}$